Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\). Gọi \(K\)là giao điểm của \(AF\) và \(DC\) (Hình 12). a) Tam giác \(FBA\) và tam giác \(FCK\) có bằng nhau không? Vì sao? b) Chứng minh: \(EF//CD//AB\). c) Chứng minh \(EF = \frac{{AB + CD}}{2}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(K\)là giao điểm của \(AF\) và \(DC\) nên \(K \in CD\). Vì \(ABCD\) là hình thang nên \(AB//CD \Rightarrow AB//CK\). Xét tam giác \(ABF\) có \(CK//AB\) ta có: \(\frac{{FA}}{{FK}} = \frac{{FB}}{{FC}}\) (hệ quả của định lí Thales) Mà \(F\) lần lượt là trung điểm \(BC\) nên \(\frac{{FB}}{{FC}} = 1 \Rightarrow \frac{{FA}}{{FK}} = 1 \Rightarrow FA = FK\) Xét tam giác \(ABF\) và tam giác \(KCF\) có: \(FB = FC\) (chứng minh trên) \(FK = FA\) (chứng minh trên) \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{F_2}}\) Do đó, tam giác \(ABF\) bằng tam giác \(KCF\) (c – g – c). b) Vì \(E\) là trung điểm của \(AD\);\(F\) là trung điểm của \(BC\) nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ADK\). Do đó, \(EF//DK\) (tính chất)\( \Rightarrow EF//DC\) Mà \(AB//CD \Rightarrow EF//AB//CD\) (điều phải chứng minh). c) Vì \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ADK\) nên \(EF = \frac{1}{2}DK\). Tam giác \(ABF\) bằng tam giác \(KCF\) nên \(AB = CK\) (hai cạnh tương ứng) Ta có: \(DK = DC + CK \Rightarrow DK = DC + AB\). Do đó, \[EF = \frac{1}{2}DK = \frac{1}{2}\left( {DC + AB} \right) = \frac{{DC + AB}}{2}\] (điều phải chứng minh).