Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD\) \(\left( {AC > BD} \right)\). Từ \(C\) kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB\) (\(E\) thuộc đường thẳng \(AB\)), \(CF\) vuông góc với \(AD\) (\(F\) thuộc đường thẳng \(AD\)). Chứng minh: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(D,B\) trên đường thẳng \(AC\).Ta có \(\Delta AHD\backsim \Delta AFC=>\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AF}\) hay \(AD.AF = AC.AH\) (1)Tương tự \(\Delta AKB\backsim \Delta AEC=>\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{AE}\) hay \(AB.AE = AC.AK\) (2).Vì \(\Delta ABK\backsim \Delta CDH\) (cạnh huyền – góc nhọn) nên \(AK = HC\)Từ đó, cộng (1) và (2) theo vế ta được:\(AD.AF + AB.AE = AC.\left( {AH + AK} \right) = AC\left( {AH + HC} \right) = A{C^2}\).