Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH, \(\widehat B = {60^o},\widehat C = {45^o}\) và cạnh \(BC = 6cm\). Chứng minh rằng \(AH = 3\left( {3 - \sqrt 3 } \right)cm\).

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC có góc B và góc C đều nhọn nên H nằm giữa B và C. Tam giác ABH vuông tại H nên \(AH = BH.\tan B = BH.\tan {60^o} = \sqrt 3 BH\), suy ra \(BH = \frac{{AH}}{{\sqrt 3 }}\). Tam giác ACH vuông tại H có \(\widehat C = {45^o}\) nên tam giác ACH vuông cân tại H nên \(CH = AH\). Ta có: \(BC = BH + CH = AH\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 1} \right)\) nên \(\frac{{\sqrt 3  + 1}}{{\sqrt 3 }}AH = 6\), suy ra \(AH = \frac{{6\sqrt 3 }}{{\sqrt 3  + 1}} = 3\left( {3 - \sqrt 3 } \right)\left( {cm} \right)\)