Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 1,\,\,BC = \sqrt 2 .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\) a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau. b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC,\,\,BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)Ta có: \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right)\) \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ =  - {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} =  - 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) - 1 + 1 = 0\end{array}\)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\)b)     Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt 3 \)       (1) Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có:\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)\( \Rightarrow \,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\)\( \Rightarrow \,\,AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)      (2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\)Ta có: \(\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)Ta có: \(\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {CP}  - \overrightarrow {CN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  - \frac{5}{6}\overrightarrow {CA}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP}  = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)                   \(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 - \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} - \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB}  \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\)\( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).