Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;4)\) và \(C(9;2)\) là hai đỉnh của hình vuông \(ABCD.\) Tìm tọa độ các đỉnh \(B,\,\,D\) biết rằng tung độ của \(B\) là một số âm.

Lời giải chi tiết

Gọi \(B(x;y)\) và \(D(x';y')\). Điều kiện: \(y < 0\)Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\)\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + 9}}{2} = 5}\\{y = \frac{{4 + 2}}{2} = 3}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(I(5;3)\)Ta có: \(I\) là trung điểm của\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + x' = 10}\\{y + y' = 6}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - x'}\\{y = 6 - y'}\end{array}} \right.} \right.\)        (1)Xét hình vuông \(ABCD\) có \(I\) là trung điểm của \(AC\)\( \Rightarrow \) \(AC \bot BD\) tại trung điểm \(I\) của chúng.Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = ( - 4;1)\), \(\overrightarrow {IB}  = (x - 5;y - 3)\), \(\overrightarrow {IC}  = (4; - 1)\) và \(\overrightarrow {ID}  = (x' - 5;y' - 3)\)Xét \(\Delta AID\) vuông tại \(I\) có:\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  = 0}\\{IA = ID}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4\left( {x' - 5} \right) + \left( {y' - 3} \right) = 0}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} + {{\left( {y' - 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} + {{\left( {4x' - 17 - 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} + 16{{\left( {x' - 5} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{x' - 5 =  \pm 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 6}\\{y' = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 4}\\{y' =  - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\(\) (thỏa mãn)Với \(x' = 4\) và \(y' =  - 1\) thay vào hệ phương trình (1), ta được:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - 4 = 6}\\{y = 4 + 1 = 7}\end{array}} \right.\)   (loại)Với \(x' = 6\) và \(y' = 7\) thao vào hệ phương trình (1), ta được:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - 6 = 4}\\{y = 6 - 7 =  - 1}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)Vậy \(B(4; - 1)\) và \(D(6;7)\)