Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A < {90^ \circ }.\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh \(A\) là \(ABD\) và \(ACE.\) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) theo thứ tự là trung điểm \(BC,\,\,BD,\,\,CE.\) Chứng minh rằng: a) \(AM\) vuông góc với \(DE.\) b) \(BE\) vuông góc với \(CD.\) c) Tam giác \(MNP\) là một tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AD} \)  và  \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AD} } \right)\) \(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {AB.AE.\cos \widehat {BAE} - AC.AD.\cos \widehat {CAD}} \right) = 0\end{array}\)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow {DE} \) \( \Rightarrow \) \(AM \bot DE\)b) Ta có: \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD}  = \left( {\overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right)\)\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ = AE.AD.\cos \widehat {DAE} + AB.AC.\cos \left( {{{180}^ \circ } - \widehat {DAE}} \right) = 0\end{array}\)\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BE}  \bot \overrightarrow {CD} \) \( \Rightarrow \) \(BE \bot CD\)c) Ta có: \(MN\) và \(MP\) lần lượt là đường trung bình của \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACE\)\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(CD\) và \(MP\)//\(BE\)mặt khác \(CD \bot BE\) (cm câu b)\( \Rightarrow \) \(MN \bot MP\)\( \Rightarrow \) \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\)+ Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta ABE\) ta có:\(AD = AB\)\(AC = AE\)\(\widehat {DAC} = \widehat {BAE} = {90^o} + \widehat {BAC}\)\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta ABE\) (cạnh góc cạnh)\( \Rightarrow DC = BE\)Lại có: \(MN = \frac{1}{2}DC\) (do M, N là trung điểm BD, BC)\(MP = \frac{1}{2}BE\) (do M, N là trung điểm CB, CE)\( \Rightarrow MN = MP\)Vậy tam giác MNP vuông cân tại M.