Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có \(AB = 3AC\) và điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(AD = 2DB\). Chứng minh: \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^\circ \).

Lời giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\). Đặt \(AE = x,AC = x\). Có \(AE = ED = DB,AB = 3AC\) nên \(ED = x,EB = 2x\) và \(CE = x\sqrt 2 \). Xét tam giác \(EDC\) và tam giác \(ECB\) có: \(\widehat {CED} = \widehat {CEB}\) \(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{EC}}{{EB}}\) nên \(\Delta EDC\backsim \Delta ECB\) (c.g.c). Do đó \(\widehat {ECD} = \widehat {CEB}\). Vì vậy \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = \widehat {EDC} + \widehat {ECD} = \widehat {AEC}\). Mặt khác, do tam giác \(AEC\) là tam giác vuông cân nên \(\widehat {AEC} = 45^\circ \). Vậy \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 45^\circ \).