Đề bài

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yêu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước.

Lời giải chi tiết

Coi hai bờ sông lần lượt là đường thẳng \({d_1},{d_2}.\) Giả sử tàu 1 xuất phát từ A hướng về hạ lưu và tàu 2 xuất phát từ B hướng về thượng nguồn như hình vẽ.

 

Ta sử dụng các vecto \(\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} \) để biểu diễn cho vận tốc của dòng nước, vận tốc riêng của tàu 1 và tàu 2. Lấy các điểm K, M sao cho \(\overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {{v_1}} .\) Từ giả thiết suy ra tứ giác ABKM là một hình thang cân. Lấy các điểm L, N sao cho \(\overrightarrow {KL}  = \overrightarrow v  = \overrightarrow {MN} \). Khi đó K, L, M, N cùng nằm trên một đường thẳng song song với \({d_1},{d_2}\) và các vecto \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow v ,\overrightarrow {BL}  = \overrightarrow {{v_2}}  + \overrightarrow v \) tương ứng biểu diễn cho vận tốc thực của tàu 1 và tàu 2. Khi đó tàu 1 chuyển động theo hướng \(\overrightarrow {AN} \) đến đích là điểm D. Tàu 2 theo hướng \(\overrightarrow {BL} \) đến đích là điểm C. Do các đường thẳng KL, MN, \({d_1},{d_2}\) đôi một song song nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AD}}{{AN}} = \frac{{BC}}{{BL}} = k\). Trong đó AD, AN là quãng đường đi và độ lớn vận tốc của tàu 1 còn BC, BL là quãng đường đi và độ lớn vận tốc của tàu 2. Như vậy hai tàu cần thời gian như nhau để sang bờ bên kia. Vậy hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.