Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3cm,AC = 4cm.\) Đường phân giác của góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D\). a) Tính \(BC,BD,DC\). b) Vẽ đường cao \(AH\). Tính \(AH,HD\) và \(AD\).

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( {3^2} + {4^2} = B{C^2}\) \( B{C^2} = 25\) Suy ra \( BC = 5cm\) Ta có: \(BD + DC = BC \) suy ra \(DC = BC - BD = 5 - BD\) Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) \(\frac{{BD}}{{5 - BD}} = \frac{3}{4} \) \(4.BD = 3.\left( {5 - BD} \right)\) suy ra \( 4.BD = 15 - 3.BD\) \( 4BD + 3BD = 15\) \(7BD = 15\) nên \(BD = \frac{{15}}{7}\) Suy ra \(DC = 5 - \frac{{15}}{7} = \frac{{20}}{7}\) Vậy \(BC = 5cm;BD = \frac{{15}}{7}cm;DC = \frac{{20}}{7}cm\). b) Diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)\) Mặt khác \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AH.5 = 6\) Suy ra \( AH = \frac{{6.2}}{5} = \frac{{12}}{5}cm\). Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\) \( H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\) \( H{B^2} = {3^2} - \left( \frac{{12}}{5} \right)^2\) \( H{B^2} = \frac{{81}}{25}\) Suy ra \(HB = \frac{{9}}{5}cm\) \(HD = BD - BH = \frac{{15}}{7} - \frac{{9}}{5} = \frac{{12}}{35}cm\). Xét tam giác \(AHD\) vuông tại \(H\) ta có: \(A{H^2} + H{D^2} = A{D^2}\) \( A{D^2} = \left( \frac{{12}}{35} \right)^2 + \left( \frac{{12}}{5} \right)^2\) \( A{D^2} = \frac{{144}}{{1225}} + \frac{{144}}{{25}}\) \( A{D^2} = \frac{{288}}{{49}}\) Suy ra \(AD = \frac{{12\sqrt 2}}{{7}} cm\) Vậy \(AH = \frac{{12}}{{5}}cm;HD = \frac{{12}}{35}cm;AD = \frac{{12\sqrt 2}}{{7}}cm\).