Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 15cm,AC = 20cm,BC = 25cm\). Đường phân giác của góc \(BAC\)cắt \(BC\) tại \(D\). Qua \(D\) vẽ \(DE//AB\left( {E \in AC} \right)\). a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(BD,DC\) và \(DE\). b) Chứng minh \(ABC\) là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác \(ABC\). c) Tính diện tích tam giác \(ADB,ADE\) và \(DCE\).

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: \(BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 25 - BD\) Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{25 - BD}} = \frac{{15}}{{20}} \Leftrightarrow 20.BD = 15.\left( {25 - BD} \right) \Rightarrow 20.BD = 375 - 15.BD\) \( \Leftrightarrow 20BD + 15BD = 375 \Leftrightarrow 35BD = 375 \Rightarrow BD = \frac{{375}}{{35}} = \frac{{75}}{7}\) \( \Rightarrow DC = 25 - \frac{{75}}{7} = \frac{{100}}{7}\) Vậy \(BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm\).  Vì \(DE//AB\) nên \(\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{25}} = \frac{{DE}}{{15}} \Leftrightarrow DE = \frac{{100}}{7}.15:25 = \frac{{60}}{7}\) (hệ quả của định lí Thales). Vậy \(BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm;DE = \frac{{60}}{7}cm\). b) Xét tam giác \(ABC\) có: \(B{C^2} = {25^2} = 625;A{C^2} = {20^2} = 400;A{B^2} = {15^2} = 225\) \( \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}\) Do đó, tam giác\(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\). c) Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.15.20 = 150\left( {c{m^2}} \right)\). Xét tam giác \(ADB\) và tam giác \(ABC\) ta có: \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{\frac{{75}}{7}}}{{25}} = \frac{3}{7}\) và có chung chiều cao hạ từ đỉnh \(A\). Do đó, diện tích tam giác \(ADB\) bằng \(\frac{3}{7}\) diện tích tam giác \(ABC\). Diện tích tam giác \(ADB\) là: \({S_{ADB}} = 150.\frac{3}{7} = \frac{{450}}{7}\left( {c{m^2}} \right)\). Diện tích tam giác \(ACD\) là: \({S_{ACD}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 150 - \frac{{450}}{7} = \frac{{600}}{7}\) Vì \(ED//AB \Rightarrow \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{\frac{{75}}{{100}}}} = \frac{4}{3}\) Xét tam giác \(ADE\) và tam giác \(DCE\) ta có: \(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{4}{3}\) và hai tam giác này có chung đường cao hạ từ \(D\). Do đó, \(\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DCE}}}} = \frac{4}{3}\). Diện tích tam giác \(ADE\) là \({S_{ADE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).4 = \frac{{2400}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)\) \({S_{DCE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).3 = \frac{{1800}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)\).