Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm\). Đường phân giác của góc \(BAC\) cắt cạnh \(BC\) tại \(D\). a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(DB\) và \(DC\). b) Tính tỉ số diện tích giữa \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADC\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(BD + DC = BC \) suy ra \(DC = BC - BD = 10 - BD\) Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \) \(\frac{{BD}}{{10 - BD}} = \frac{6}{8} \) \(8BD = 6.\left( {10 - BD} \right) \) \(8BD = 60 - 6BD\) \(8BD + 6BD = 60 \) \(14BD = 60 \) \(BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}\) \(DC = 10 - \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}\) Vậy \(BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm\). b) Kẻ \(AE \bot BC\), ta có \(AE\) là đường cao của tam giác \(ABC\). Vì \(AE \bot BC \) nên \(AE \bot BD \) suy ra \(AE\) là đường cao của tam giác \(ADB\) Diện tích tam giác \(ADB\) là: \({S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE\) Vì \(AE \bot BC \) nên \(AE \bot DC \) suy ra \(AE\) là đường cao của tam giác \(ADC\) Diện tích tam giác \(ADC\) là: \({S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE\) Ta có: \(\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}\). Vậy tỉ số diện tích giữa \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADC\) là \(\frac{3}{4}\).