Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó \(B \in \left( O \right)\) và \(C \in \left( {O'} \right)\). Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O’); b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

(H.5.41)

a) Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A nên \(A \in OO'\). Vì MA là tiếp tuyến của (O) tại A nên \(MA \bot AO\) tại A, từ đó suy ra \(MA \bot AO'\). Do đó, MA là tiếp tuyến của (O’). b) MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tai M nên \(MA = MB\). Tương tự đối với đường tròn (O’), ta cũng có \(MA = MC\). Do đó, \(MA = MB = MC\). Do đó, \(MB = MC\). Vậy M là trung điểm của BC. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng \(\frac{1}{2}\)BC nên là tam giác vuông tại A.