Đề bài

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) \(\Delta AHB = \Delta AHM\);                                                 b) \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHM có:

     AH chung;

     \(\widehat {AHB} = \widehat {AHM}\)(H là hình chiếu của A lên BC nên \(AH \bot BC\));

     HB = HM (H là trung điểm của BM).

Vậy \(\Delta AHB = \Delta AHM\)(c.g.c).

b) \(\Delta AHB = \Delta AHM\)nên AB = AM ( 2 cạnh tương ứng).

G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Nên: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).

Mà AB = AM suy ra: \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).