Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\); b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\); c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\); d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \) \(= \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\). \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \({\rm{x}} =  - 4\). Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 4} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 4; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\). Hàm số đạt cực đại tại $x=-4,{{y}_{CĐ}}=-4$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{CT}} = 2\). b) Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có \(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 8} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\  = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0\end{array}\) Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị. c) Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\). Ta có \(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - 2{x^2} + x + 2} \right)}^\prime }\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( { - 4{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right).2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 4{x^2} + 4{\rm{x}} - 5}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0\end{array}\) Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\). Hàm số không có cực trị. d) Xét hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\). Ta có \(\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}^\prime }\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right){{\left( {x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 2{\rm{x}}\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}\) \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \({\rm{x}} =  - 7\). Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 7; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3;1} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 7} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số đạt cực đại tại $x=1,{{y}_{CĐ}}=-8$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 7,{y_{CT}} = 8\).