Đề bài

Chứng minh rằng a) \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\); b) \(\ln x \le x - 1\) với mọi \(x > 0\).

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(f\left( x \right) = \tan x - x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 = \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Bảng biến thiên:

Do đó \(f'\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Suy ra \(\tan x - x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Vậy \(\tan x > x\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). b) Đặt \(f\left( x \right) = \ln x - x + 1\) với mọi \(x > 0\). Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Bảng biến thiên:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Do đó \(f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = 0\) với mọi \(x > 0\). Suy ra \(\ln x - x + 1 \le 0\) với mọi \(x > 0\). Vậy \(\ln x \le x - 1\) với mọi \(x > 0\).