Đề bài

Cho điểm \(A\) di động trên nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha \) với \(0 \le \alpha  \le \pi \). Lấy điểm \(B\) thuộc nửa đường tròn và \(C,D\) thuộc đường kính \(MN\) được xác định sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Khi \(A\) di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) tăng, trong các khoảng nào của \(\alpha \) thì diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) giảm?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(A{\rm{D}} = OA\sin \alpha  = 10\sin \alpha ;O{\rm{D}} = OA\cos \alpha  = 10\cos \alpha ;C{\rm{D}} = 2{\rm{OD}} = 20\cos \alpha \). Diện tích hình chữ nhật là: \(AD.C{\rm{D}} = 10\sin \alpha .20\cos \alpha  = 200\sin \alpha \cos \alpha  = 100\sin 2\alpha \). Xét hàm số \(f\left( \alpha  \right) = 100\sin 2\alpha \) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\). Ta có: \(f'\left( \alpha  \right) = 200\cos 2\alpha ;f'\left( \alpha  \right) = 0 \Leftrightarrow \alpha  = \frac{\pi }{4}\) hoặc \(\alpha  = \frac{{3\pi }}{4}\). Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3\pi }}{4};\pi } \right)\), hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\). Vậy diện tích hình chữ nhật tăng trên các khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3\pi }}{4};\pi } \right)\), diện tích hình chữ nhật giảm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\).