Đề bài

Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AB và IJ.Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {ABC};\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}};A{\rm{D}} = BC, AC = BD\)Tam giác ICD cân tại I (vì \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}}\)) nên IC = ID.Xét tam giác ABD và BAC có:AB chungAD = BC (cmt)AC = BD (cmt)=> ∆ABD = ∆BAC (c.c.c) => \(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\)Vì \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BC{\rm{D}}};\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\) nên \(\widehat {J{\rm{D}}C} = \widehat {JC{\rm{D}}}\)Tam giác JCD cân tại J (vì \(\widehat {J{\rm{D}}C} = \widehat {JC{\rm{D}}}\) ) nên JC = JD.Xét ∆IJD và ∆IJC có:IC = ID (chứng minh trên);\(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {BC{\rm{A}}}\);JC = JD (chứng minh trên).Do đó ∆IJD = ∆IJC (c.g.c).Suy ra \(\widehat {D{\rm{IJ}}} = \widehat {C{\rm{IJ}}}\) (hai góc tương ứng).Ta có ID = IC, AD = BC.Mà ID = AI + AD; IC = IB + BC nên IA = IB.Tam giác IAB cân tại I (vì IA = IB) có IO là tia phân giác \(\widehat {AIB}\) Suy ra IO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.Vậy đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.