Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét ∆DOE và ∆COE có:\(\widehat {O{\rm{D}}E} = \widehat {OC{\rm{E}}} = {90^o}\) (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)EC = ED (giả thiết)Cạnh OE chungDo đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).Do đó tam giác OCD cân tại O nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\)Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}};\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cặp góc so le trong).Do đó \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) (vì \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\))Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.Do OA = OB, OC = OD nên OA + OC = OB + OD nên AC = BD

ꦇNên ABCD là hình thang cân theo dấu hiệu nhận biết "nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân".