Đề bài

Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC (Hình 24).

 

Chứng minh: a) ∆AMC = ∆ABN; b) BN vuông góc với CM.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:\(\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = 90^\circ  + \widehat {BAC}\)\(\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = 90^\circ  + \widehat {BAC}\)Suy ra: \(\widehat {MAC} = \widehat {NAB}\)Xét ∆AMC và ∆ABN có:MA = AB (giả thiết),\(\widehat {MAC} = \widehat {NAB}\) (chứng minh trên),AC = AN (giả thiết)Suy ra ∆AMC = ∆ABN (c.g.c).Vậy ∆AMC = ∆ABN.b) Do ∆AMC = ∆ABN (chứng minh câu a)Suy ra \(\widehat {ACM} = \widehat {ANB}\) (hai góc tương ứng).Mặt khác, \(\widehat {KIC} + \widehat {AIN}\) (đối đỉnh).Suy ra \(\widehat {ACM} + \widehat {KIC} = \widehat {ANB} + \widehat {AIN}\)Xét ∆AIN vuông tại A có: \(\widehat {ANI} + \widehat {AIN} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)Hay \(\widehat {ANB} + \widehat {AIN} = {90^o}\)Do đó \(\widehat {ACM} + \widehat {KIC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ICK} + \widehat {KIC} = 90^\circ \) Xét ∆KIC, có: \(\widehat {ICK} + \widehat {KIC} + \widehat {IKC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).Suy ra \(\widehat {IKC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ICK} + \widehat {KIC}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \) Do đó BN vuông góc với  MC.Vậy BN vuông góc với  MC.