Đề bài

🎀Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AB và AE = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE.

Chứng minh:

a) ∆ABC = ∆ADE;

b) DE = BC và DE song song với BC;

c) ∆AEN = ∆ACM;

d) M, A, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ΔABC và ΔADE có:AB = AD (giả thiết),\(\widehat {BAC} = \widehat {DA{\rm{E}}}\) (hai góc đối đỉnh),AC = AE (giả thiết).Do đó ΔABC = ∆ADE (c.g.c).Vậy ΔABC = ∆ADE.b) Vì ∆ABC = ∆ADE (chứng minh câu a)Suy ra BC = DE (hai cạnh tương ứng), \(\widehat {ACB} = \widehat {AED}\) (hai góc tương ứng).Mặt khác \(\widehat {ACB},\widehat {AED}\) là hai góc ở vị trí so le trong.Suy ra DE // BC.Vậy DE = BC và DE song song với BC.c) Ta có: \(EN = \frac{{DE}}{2};MC = \frac{{BC}}{2};DE = BC\) nên EN = MCXét ∆AEN và ∆ACM có:AE = AC (giả thiết),\(\widehat {NEA} = \widehat {MCA}\) (do \(\widehat {AED} = \widehat {ACB}\))EN = CM (chứng minh trên),Suy ra ∆AEN = ∆ACM (c.g.c)Vậy ∆AEN = ∆ACM.d) Do ∆AEN = ∆ACM (chứng minh câu c).Nên \(\widehat {NAE} = \widehat {MAC}\) (hai góc tương ứng)Ta có: \(\widehat {NAM} = \widehat {NAE} + \widehat {EAM} = \widehat {MAC} + \widehat {EAM}\) Mà \(\widehat {MAC} + \widehat {EAM} = \widehat {EAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)Do đó \(\widehat {NAM} = {180^o}\)Suy ra M, A, N thẳng hàng Vậy M, A, N thẳng hàng.