Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm E trên cạnh CD. Tia phân giác của góc DAE cắt cạnh DC tại M. Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N. Chứng minh DM + BN = MN.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat D = {90^o}\)Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N nên \(\widehat {APM} = {90^o}\)Do đó \(\widehat D = \widehat {APM} = {90^o}\)Xét ∆ADM và ∆APM có:\(\widehat D = \widehat {APM} = {90^o}\) (chứng minh trên)Cạnh AM chung\(\widehat {MA{\rm{D}}} = \widehat {MAP}\)(vì AM là tia phân giác của \(\widehat {DAP}\)).Do đó ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).Suy ra MD = MP (hai cạnh tương ứng).Chứng minh tương tự ta có BN = PN.Ta có MP + PN = MN mà MD = MP; BN = PN (chứng minh trên)Do đó DM + BN = MN.