Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay AM // DN. Suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{D_2}}\)(hai góc so le trong) Mà \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (vì DM là tia phân giác \(\widehat {A{\rm{D}}C}\)). Do đó \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{D_1}}\) nên tam giác ADM cân tại A. Chứng minh tương tự, ta có tam giác BCN cân tại C. Vì \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}};\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (vì DM, BN lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {A{\rm{D}}C};\widehat {ABC}\)). Mà \(\widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {ABC}\) (vì tứ giác ABCD là hình bình hành). Do đó \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) Tam giác ADM cân tại A, tam giác BCN cân tại C. Mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_2}}\) nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_2}}\) suy ra \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{N_1}}\) Tứ giác BMDN có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_2}};\widehat {{M_2}} = \widehat {{N_1}}\) nên tứ giác BMDN là hình bình hành. Suy ra DM // BN hay HE // GF. Tam giác ADM cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao. Suy ra \(\widehat {AHE} = {90^o}\) nên \(\widehat {EHG} = {90^o}\) Mà HE // GF suy ra \(\widehat {AGF} = {90^o}\) (hai góc đồng vị). Tương tự, ta cũng chứng minh được: \(\widehat {HEF} = {90^o};\widehat {GF{\rm{E}}} = {90^o}\) Tứ giác EFGH có \(\widehat {EHG} = {90^o};\widehat {AGF} = {90^o};\widehat {{\rm{HEF}}} = {90^o}\) Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.