Đề bài

Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MP. a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?

b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác AMCP là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

Lời giải chi tiết

a) Tứ giác AMCP có hai đường chéo AC và MP cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường. Do đó tứ giác AMCP là hình bình hành. b) Xét ∆MAN và ∆PCN có: AN = NC (vì N là trung điểm của AC) \(\widehat {ANM} = \widehat {CNP}\) (hai góc đối đỉnh) MN = NP (vì N là trung điểm MP) Do đó ∆MAN = ∆PCN (c.g.c). Suy ra \(\widehat {MAN} = \widehat {PCN}\) (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra AM // CP nên BM // CP. Mặt khác, ∆MAN = ∆PCN suy ra AM = CP (hai cạnh tương ứng) Mà AM = BM (vì M là trung điểm của AB) nên BM = CP. Tứ giác BMPC có BM // CP và BM = CP nên tứ giác BMCP là hình bình hành. • Để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì AC = MP. Mà BC = MP (vì tứ giác BMCP là hình bình hành). Do đó AC = BC nên tam giác ABC là tam giác cân tại C. Vây để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì tam giác ABC là tam giác cân tại C. • Để hình bình hành AMCP là hình thoi thì AM = CM hay \(AM = CM = BM = \frac{{AB}}{2}\) Tam giác ABC có CM là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của tam giác ABC. Mà \(AM = CM = BM = \frac{{AB}}{2}\) Khi đó tam giác ABC vuông tại C. Vậy để hình bình hành AMCP là hình thoi thì tam giác ABC vuông tại C. • Để hình bình hành AMCP là hình vuông thì hình bình hành AMCP là hình chữ nhật có AM = CM (hai cạnh kề bằng nhau). + Để hình bình hành AMCP là hình chữ nhật thì ABC là tam giác cân tại C (dựa vào phần chứng minh hình bình hành AMCP là hình chữ nhật) + Tam giác ABC có AM = CM thì tam giác ABC vuông tại C (dựa vào phần chứng minh hình bình hành AMCP là hình thoi) Khi đó, tam giác ABC vuông cân tại C. Vậy để hình bình hành AMCP là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại C.