Đề bài

Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên: \(P = \left( {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{{1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}} \right)\left( {\sqrt 3  - \frac{4}{{\sqrt 3 }} + 2} \right).\sqrt {0,2}. \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\frac{{\sqrt 5  + 1}}{{1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 }} \\= \frac{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 } \right) + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 } \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 5 } \right) + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right) + \sqrt 3 \left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3  - 1}}\) Do đó, \(P = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3  - 1}}.\frac{{3 - 4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {0,2} \\= \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3  - 1}}.\frac{{2\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {0,2} \\ = 2\sqrt 5 .\sqrt {0,2} \\ = 2\sqrt {0,2.5} \\ = 2\)