Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - 4{m^2} - 1 = 0.\) a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) với mọi giá trị của m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) không phụ thuộc vào giá trị của m.

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 2\left( {2m + 1} \right);c =  - 4{m^2} - 1\), do đó \(b' = \frac{b}{2} = 2m + 1\). Ta có: \(\Delta ' = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 1.\left( { - 4{m^2} - 1} \right) \\= {\left( {2m + 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1.\) Do \({\left( {2m + 1} \right)^2} \ge 0;4{m^2} \ge 0;1 > 0\) nên \({\left( {2m + 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1 > 0\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\) hay \(\Delta ' \ge 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\). Vì \(\Delta ' \ge 0\)  nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m. b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có: \({x_1} + {x_2} =  - 2\left( {2m + 1} \right);{x_1}.{x_2} =  - 4{m^2} - 1.\) Ta có: \({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} \\= {\left[ { - 2\left( {2m + 1} \right) + 2} \right]^2} \\= {\left( -4m - 2 + 2 \right)^2}  \\= {\left( -4m \right)^2} \\= 16{m^2}\) và \(4.{x_1}.{x_2} = 4\left( { - 4{m^2} - 1} \right) =  - 16{m^2} - 4\) Suy ra \({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2} \\= 16{m^2} - 16{m^2} - 4 = -4.\) Vậy ta có hệ thức \({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2} = -4\) không phụ thuộc vào giá trị của m.