Đề bài

Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn \(x + y + z = 5\) và \(xy + yz + xz = 8\). Chứng tỏ rằng: \(1 \le x \le \frac{7}{3};1 \le y \le \frac{7}{3};1 \le z \le \frac{7}{3}\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(S = y + z;P = yz\) Suy ra: \(S = y + z = 5 - x;\) \(P = yz = 8 - x\left( {y + z} \right) = 8 - x\left( {5 - x} \right)\). Từ đó y, z là nghiệm của phương trình: \({X^2} - \left( {5 - x} \right)X + 8 - x\left( {5 - x} \right) = 0\) Điều kiện: \({S^2} - 4P \ge 0\) hay \({\left( {5 - x} \right)^2} - 4.\left[ {8 - x\left( {5 - x} \right)} \right] \ge 0\), do đó \( - 3{x^2} + 10x - 7 \ge 0\), hay \(3{x^2} - 10x + 7 \le 0\), suy ra \(3\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{3}} \right) \le 0\) (*). Vì \(3{x^2} - 10x + 7 \le 0\) và \(x - 1 > x - \frac{7}{3}\) nên (*) suy ra \(x - \frac{7}{3} \le 0\) và \(x - 1 \ge 0\), do đó \(x \le \frac{7}{3}\) và \(x \ge 1\) Vậy \(1 \le x \le \frac{7}{3}\). Tương tự ta chứng minh được \(1 \le y \le \frac{7}{3}\), \(1 \le z \le \frac{7}{3}\).