Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) có góc \(B\) tù. Kẻ \(BE\) vuông góc \(AD\) tại \(E\), \(BF\) vuông góc với \(CD\) tại \(F\). Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(BE,BF\) với \(AC\). Chứng minh tứ giác \(BMDN\) là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\) vuông góc với \(BD\) tại trung điểm \(O\) của \(BD\). Suy ra \(AC\) là đường trung trực của \(BD\). Do đó \(BM = DM,BN = DN\). Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(BA = BC,\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\). Suy ra \(\Delta ABE = \Delta BCF\) (cạnh huyền – góc nhọn kề) Do đó \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF}\). Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\), suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\). \(\Delta MBO = \Delta NBO\) (cạnh góc vuông – góc nhọn). suy ra \(BM = BN\) Mà \(BM = DM\) và \(BN = DN\), suy ra \(BM = DM = BN = DN\). Tứ giác \(BMDN\) có \(BM = DM = BN = DN\) nên \(BMDN\) là hình thoi.