Đề bài

Chứng minh rằng: a) Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). b) Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). c) Hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\). Ta có: \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) Với \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} < 0 \Leftrightarrow y' < 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\). Với \(x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} > 0 \Leftrightarrow y' > 0\). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Ta có: \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}\) \(y' = 0\) khi \(x = 0\). Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Ta có: \({y^\prime } = {\left( { - {x^2} + 2{\rm{x}}} \right)^\prime }{.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2 = \left( { - 2{\rm{x}} + 2} \right){.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2\) \(y' = 0\) khi \(x = 1\). Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).