Đề bài

Biết số tự nhiên a chia 6 dư 5. Chứng minh \({a^3}\) chia 6 dư 5.

Lời giải chi tiết

Vì a chia 6 dư 5 nên \(a = 6n + 5\) Do đó, ta xét \({a^3} = {\left( {6n + 5} \right)^3} = {\left( {6n} \right)^3} + 3.{\left( {6n} \right)^2}.5 + 3.6n{.5^2} + {5^3}\) \( = 216{n^3} + 540{n^2} + 450n + 125\) \( = 216{n^3} + 540{n^2} + 450n + 120 + 5\) \( = 6\left( {36{n^3} + 90{n^2} + 75n + 20} \right) + 5\). Vì \(6\left( {36{n^3} + 90{n^2} + 75n + 20} \right) \vdots 6\) nên \(6\left( {36{n^3} + 90{n^2} + 75n + 20} \right) + 5\) chia 6 dư 5. Vậy \({a^3}\) chia 6 dư 5.