Đề bài

Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng \(\widehat {IBD} = \widehat {ICA},\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\) và \(IA.IB = IC.ID\).

Lời giải chi tiết

Do tổng các góc đối của tứ giác ABCD bằng \({180^o}\) nên: \(\widehat {IBD} = {180^o} - \widehat {ACD} = \widehat {ICA}\); \(\widehat {IDB} = {180^o} - \widehat {CAB} = \widehat {IAC}\) Mặt khác, từ các đẳng thức trên ta suy ra $\Delta IBD\backsim \Delta ICA$ (g. g). Do đó, \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{ID}}{{IA}}\), hay \(IA.IB = IC.ID\).