Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\widehat {A{}^{}} = {110^o}\) và \(\widehat B = \widehat C\) . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho \(\widehat {A{\rm{D}}C} = {105^o}\)🍒. Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:

a) AE < CE;

b) EC < BC < BE.

Lời giải chi tiết

 

•Xét ∆ACB có: \(\widehat {BAC} + \widehat {BCA} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)Mà \(\widehat {BAC} = 110^\circ ,\)\(\widehat B = \widehat {ACB}\) (giả thiết)Suy ra \(\hat B = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 110^\circ }}{2} = 35^\circ \) •Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)Suy ra \(\widehat {CAE} = 180^\circ  - \widehat {BAC} = 180^\circ  - 110^\circ  = 70^\circ \) .• Do AD // EC (giả thiết) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ECD} = {180^o}\) (hai góc trong cùng phía).Suy ra \(\widehat {ECD} = {180^o} - \widehat {ADC} = {180^o} - {105^o} = {75^o}.\) Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ACE} = \widehat {ECD}\) (hai góc kề nhau)Do đó \(\widehat {ACE} = \widehat {ECD} - \widehat {ACB} = 75^\circ  - {35^o} = 40^\circ .\) • Trong ∆ACE có: \(\widehat {ACE} < \widehat {CAE}\) (do 40° < 70°)Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).Vậy AE < CE.b) Xét ∆EBC có: \(\hat E + \widehat {BCE} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác) Mà \(\widehat {BCE} = 75^\circ ,\hat B = 35^\circ \)Suy ra  \(\hat E = 180^\circ  - \hat B - \widehat {BCE} = 180^\circ  - 35^\circ  - 75^\circ  = 70^\circ \)Trong tam giác BCE có: \(\hat B < \hat E < \widehat {BCE}\) (do 35° < 70° < 75°).Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).Vậy EC < BC < BE.