Đề bài

Cho đa thức \(P = 5{x^2}y - 2x{y^2} + xy - x + y - 2\). a) Tìm đa thức Q, biết rằng \(P + Q = \left( {x + y} \right)\left( {2xy + 2{y^2} - 1} \right)\). b) Tìm đa thức R, biết rằng \(P - R =  - xy\left( {x - y} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có\(P + Q = \left( {x + y} \right)\left( {2xy + 2{y^2} - 1} \right)\)\( = x\left( {2xy + 2{y^2} - 1} \right) + y\left( {2xy + 2{y^2} - 1} \right)\)\( = 2{x^2}y + 2x{y^2} - x + 2x{y^2} + 2{y^3} - y\)\( = 2{x^2}y + \left( {2x{y^2} + 2x{y^2}} \right) - x + 2{y^3} - y\)\( = 2{x^2}y + 4x{y^2} - x + 2{y^3} - y\)\(P + Q = 2{x^2}y + 4x{y^2} - x + 2{y^3} - y\).Suy ra \(Q = 2{x^2}y + 4x{y^2} - x + 2{y^3} - y - P\)\( = 2{x^2}y + 4x{y^2} - x + 2{y^3} - y - \left( {5{x^2}y - 2x{y^2} + xy - x + y - 2} \right)\)\( = 2{x^2}y + 4x{y^2} - x + 2{y^3} - y - 5{x^2}y + 2x{y^2} - xy + x - y + 2\)\( = \left( {2{x^2}y - 5{x^2}y} \right) + \left( {4x{y^2} + 2x{y^2}} \right) + \left( { - x + x} \right) + 2{y^3} - xy + \left( { - y - y} \right) + 2\)\( =  - 3{x^2}y + 6x{y^2} + 2{y^3} - xy - 2y + 2\).b) Ta có \(P - R =  - xy\left( {x - y} \right) =  - {x^2}y + x{y^2}\)Do đó \(R = P - \left( { - {x^2}y + x{y^2}} \right)\) \( = 5{x^2}y - 2x{y^2} + xy - x + y - 2 + {x^2}y - x{y^2}\)\( = \left( {5{x^2}y + {x^2}y} \right) + \left( { - 2x{y^2} - x{y^2}} \right) + xy - x + y - 2\) \( = 6{x^2}y - 3x{y^2} + xy - x + y - 2\).