a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) Suy ra \(BC = \sqrt {100}  = 10\) (cm). Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\) b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại E nên \(\widehat {BEC} = {90^0}\) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có: \(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = {90^0}\) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (BD là tia phân giác của góc ABC) Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ (g.g) (đpcm) Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số các cạnh tương ứng) Do đó \(BD.EC = AD.BC\) (đpcm) c) Vì \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) nên \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (1) Vì $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ (cmt) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}}\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) (đpcm) d) Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta CEB\) có: \(\widehat {CHE} = \widehat {CEB} = {90^0}\) \(\widehat C\) chung Suy ra $\Delta CHE\backsim \Delta CEB$ (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}\) suy ra \(CH.CB = C{E^2}\) (3) Tương tự, $\Delta CDE\backsim \Delta BCE$ (g.g) nên \(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) suy ra \(ED.EB = C{E^2}\)(4) Từ (3) và (4) suy ra \(CH.CB = ED.EB\) (đpcm)