Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường cong được gọi là parabol. Parabol đó luôn đi qua gốc toạ độ và có dạng như sau:

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

\(a{x^2} + bx + c = 0\),

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và \(a \ne 0\).

Để tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng \(y = a'x + b\left( {a' \ne 0} \right)\) và parabol \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), ta làm như sau:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng: \(a{x^2} = a'x + b\) hay \(a{x^2} - a'x - b = 0\).

Bước 2: Giải phương trình \(a{x^2} - a'x - b = 0\).

Bước 3: Từ các giá trị \(x\) tìm được, thay vào \(y = a{x^2}\) hoặc \(y = a'x + b\) để tìm \(y\).

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

Bước 2: Kết luận

- Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}\). - Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \frac{b}{{2a}}\). - Nếu \(\Delta  < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\)

Bước 1: Xác định các hệ số a, b’, c với \(b = 2b'\) và tính biệt thức \(\Delta ' = b{'^2} - ac\).

Bước 2: Kết luận

- Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\). - Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - \frac{{b'}}{a}\). - Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({x^2} - 7x - 8 = 0\).

Ta có: \(a = 1,b =  - 7,c =  - 8\). \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 8} \right) = 81 > 0\). Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) + \sqrt {81} }}{{2.1}} = 8;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 7} \right) - \sqrt {81} }}{{2.1}} =  - 1\).

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể dễ dạng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai.

Bước 1. Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU).

Đối với máy Fx-570VN PLUS, ta bấm phím MODE rồi bấm phím 5 rồi bấm phím 3 để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.

Đối với máy Fx-580VNX, ta bấm MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 2 để chọn Polynomial Degree

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải phương trình bậc hai

Bước 2. Ta nhập các hệ số \(a,b,c\) bằng cách bấm

Đối với phương trình bậc hai có nghiệm kép, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau:

Đối với phương trình bậc hai vô nghiệm, ta nhận được kết quả hiển thị trên màn hình như sau: