Để tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng \(y = a'x + b\left( {a' \ne 0} \right)\) và parabol \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), ta làm như sau:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng: \(a{x^2} = a'x + b\) hay \(a{x^2} - a'x - b = 0\).

Bước 2: Giải phương trình \(a{x^2} - a'x - b = 0\).

Bước 3: Từ các giá trị \(x\) tìm được, thay vào \(y = a{x^2}\) hoặc \(y = a'x + b\) để tìm \(y\).

Bước 1: Xác định toạ độ của giao điểm (nếu đề chỉ cho hoành độ hoặc tung độ)

Bước 2: Thay hoành độ, tung độ của giao điểm vào hàm số chứa tham số.

Bước 3: Giải phương trình để tìm m.

Để tìm tham số \(m\) sao cho đường thẳng \(y = a'x + b\left( {a' \ne 0} \right)\) cắt parabol \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) tại hai điểm phân biệt, ta làm như sau:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol: \(a{x^2} = a'x + b\) hay \(a{x^2} - a'x - b = 0\).

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\).

Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta  > 0\) hoặc \(\Delta ' > 0\).

Bước 3: Giải bất phương trình để tìm m.

Để tìm tham số \(m\) sao cho đường thẳng \(y = a'x + b\left( {a' \ne 0} \right)\) tiếp xúc với parabol \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\), ta làm như sau:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol: \(a{x^2} = a'x + b\) hay \(a{x^2} - a'x - b = 0\).

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\).

Để đường thẳng tiếp xúc với parabol tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta  = 0\) hoặc \(\Delta ' = 0\).

Bước 3: Giải phương trình để tìm m.

Để tìm tham số \(m\) sao cho đường thẳng \(y = a'x + b\left( {a' \ne 0} \right)\) và parabol \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) không cắt nhau, ta làm như sau:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol: \(a{x^2} = a'x + b\) hay \(a{x^2} - a'x - b = 0\).

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\).

Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta  < 0\) hoặc \(\Delta ' < 0\).

Bước 3: Giải bất phương trình để tìm m.

Biệt thức, thường được ký hiệu là ∆, là một đại lượng quan trọng trong việc giải phương trình bậc hai. Nó giúp chúng ta xác định số lượng và loại nghiệm của phương trình. Biệt thức ∆ được tính bởi công thức: \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Dựa vào giá trị của ∆, chúng ta có thể xác định loại nghiệm của phương trình: Nếu \(\Delta  > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Nếu \(\Delta  = 0\), phương trình có một nghiệm kép. Nếu \(\Delta  < 0\), phương trình vô nghiệm.