Giả sử \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó \({S_n} = \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}({q^n} - 1)}}{{q - 1}}\).

1) Tính tổng \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^9}}}\).

Giải:

S là tổng mười số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Vậy \(S = \frac{{1.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1023}}{{512}}\).

2) Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 6, 18,… để được kết quả bằng 728?

Giải:

Cấp số nhân này có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội q = 3. Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy. Ta có: \(728 = {S_n} + {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{2(1 - {3^n})}}{{1 - 3}} = {3^n} - 1\). Từ đây ta được \({3^n} = 729 = {3^6}\). Suy ra n = 6.