Áp dụng các công thức sau: \({\log _a}a = 1\); \({\log _a}1 = 0\); \({a^{{{\log }_a}b}} = b\); \({\log _a}({a^\alpha }) = \alpha \); \({\log _a}(b.c) = {\log _a}b + {\log _a}c\); \({\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\); \({\log _a}\frac{1}{b} =  - {\log _a}b\) (với \(a,b > 0,a \ne 1\)); \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\); \({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\); \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\); \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\); \({\log _a}b = {\log _a}c.{\log _c}b\).

1) Cho \(0 < a \ne 1\). Tính giá trị của biểu thức \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}\).

Giải:

\({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{2{{\log }_a}4}} = {a^{{{\log }_a}{4^2}}} = {4^2} = 16\).

2) Tính giá trị của biểu thức \(A = 2{\log _2}12 + 3{\log _2}5 - {\log _2}15 - {\log _2}150\).

Giải:

\(A = {\log _2}{12^2} + {\log _2}{5^3} - ({\log _2}15 + {\log _2}150)\) \( = {\log _2}{12^2}{.5^3} - {\log _2}15.150 = {\log _2}\frac{{18000}}{{2250}} = {\log _2}8 = 3\).

3) Cho các số dương a, b và \(a \ne 1\). Rút gọn biểu thức \(K = {\log _a}{b^2} + 2{\log _{{a^2}}}{b^4} + 3{\log _{{a^3}}}{b^6} - 4{\log _{{a^4}}}{b^8}\).

Giải:

\(K = {\log _a}{b^2} + 2{\log _{{a^2}}}{b^4} + 3{\log _{{a^3}}}{b^6} - 4{\log _{{a^4}}}{b^8}\) \( = 2{\log _a}b + 4{\log _a}b + 6{\log _a}b - 8{\log _a}b = 4{\log _a}b\).