Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = AC, phân giác của góc A cắt BC tại H. a) Chứng minh rằng \(\Delta AHB = \Delta AHC\) b) Chứng minh rằng AH vuông góc với BC. c) Kẻ \(HE \bot AB(E \in AB),HF \bot AC(F \in AC).\)  Chứng minh rằng \(\Delta HEB = \Delta HFC\) d) Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD. Chứng minh rằng \(FH \bot BD\)

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác AHB và AHC có:AB = AC (giả thiết)\(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)  (AH là tia phân giác của góc BAC)AH là cạnh chung.Do đó: \(\Delta AHB = \Delta AHC(c.g.c)\)b) Ta có: \(\Delta AHB = \Delta AHC\)  (chứng minh câu a)Suy ra: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC};\widehat {ABH} = \widehat {ACH}\)Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0}\)   (kề bù)Nên  \(\eqalign{  & \widehat {AHC} + \widehat {AHC} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {AHC} = {180^0}.  \cr  & \widehat {AHC} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC \cr} \)c) Tam giác EBH vuông tại E có: \(\widehat {EBH} + \widehat {EHB} = {90^0}\)Tam giác FHC vuông tại F có: \(\widehat {FHC} + \widehat {FCH} = {90^0}\)Mà  \(\widehat {EBH} = \widehat {FCH}\)  (chứng minh câu b) nên  \(\widehat {EHB} = \widehat {FHC.}\)Xét tam giác HEB và HFC có:\(\eqalign{  & \widehat {EBH} = \widehat {FCH}  \cr  & \widehat {EHB} = \widehat {FHC}(cmt)  \cr  & HB = HC(\Delta AHB = \Delta AHC) \cr} \)Do đó: \(\Delta HEB = \Delta HFC(g.c.g)\)d) Xét tam giác AHC và DHB có: AH = DH (giả thiết)\(\eqalign{  & HC = HB(\Delta AHB = \Delta AHC)  \cr  & \widehat {AHC} = \widehat {BHD}( = {90^0}) \cr} \)Do đó: \(\Delta AHC = \Delta DHB(c.g.c) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HDB}\)Mà hai góc này ở vị trí so le trong do đó AC // BD.Mặt khác \(HF \bot AC\)   (giả thiết) nên ta có: \(HF \bot BD\)

ufa999.cc