Đề bài

Cho tam giác MNP có MN = MP. Gọi E là trung điểm của MN, F là trung điểm của MP. Gọi I là giao điểm của NF và PE. Chứng minh rằng: a) \(\Delta MEP = \Delta MFN\) b) \(\Delta IEN = \Delta IFP\) c) MI là phân giác của góc NMP. d) EF // NP.

Lời giải chi tiết

 

a)Ta có: \(ME = NE = {{MN} \over 2}\)  (F là trung điểm của MN)\(MF = PF = {{MP} \over 2}\)  (F là trung điểm của NP)Mà MN = MP (giả thiết) nên ME = NE = MF = PF.Xét tam giác MEP và MFN có:ME = MF (chứng minh trên)\(\widehat {EMP}\)   là góc chungMP = MN (giả thiết)Do đó: \(\Delta MEP = \Delta MFN(c.g.c)\)b)Ta có: \(\Delta MEP = \Delta MFN\)   (chứng minh câu a) \( \Rightarrow \widehat {MEP} = \widehat {MFN};\widehat {MPE} = \widehat {MNF}\)\(\widehat {MEP} + \widehat {NEP} = \widehat {MFN} + \widehat {NFP}( = {180^0})\)Mà \(\widehat {MEP} = \widehat {MFN}\)   (chứng minh trên) do đó: \(\widehat {NEP} = \widehat {NFP}.\)Xét tam giác IEN và IFP có:\(\widehat {IEN} = \widehat {IFP}\)   (chứng minh trên)EN = EP (chứng minh câu a)\(\widehat {ENI} = \widehat {FPI}(\Delta MEP = \Delta MFN)\)Do đó: \(\Delta IEN = \Delta IFP(g.c.g)\)c) Xét tam giác MIN và MIP có:MI là cạnh chungMN = MP (giả thiết)NI = PI  \((\Delta IEN = \Delta IFP)\)Do đó: \(\Delta MIN = \Delta MIP(c.c.c) \Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {IMP}\) Vậy MI là tia phân giác của góc NMP.d) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của MI với EF, NP.Xét tam giác MHE và MHF có:ME = MF\(\widehat {HME} = \widehat {HMF}\)   (chứng minh trên)MH là cạnh chung.Do đó: \(\Delta MHE = \Delta MHF(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MHE} = \widehat {MHF}\)Mà \(\widehat {MHE} + \widehat {MHF} = {180^0}\)   (kề bù) nên \(\widehat {MHE} + \widehat {MHE} = {180^0}\)\( \Rightarrow 2\widehat {MHE} = {180^0} \Rightarrow \widehat {MHE} = {90^0} \Rightarrow MH \bot EFhayMK \bot EF\)Xét tam giác MKN và MKP có:MN = MP (gt)\(\widehat {KMN} = \widehat {KMP}(cmt)\)Mk là cạnh chung.Do đó: \(\Delta MKN = \Delta MKP(c.g.c) \Rightarrow \widehat {MKN} = \widehat {MKP}\)Mà \(\widehat {MKN} + \widehat {MKP} = {180^0}\)   (kề bù) nên \(\widehat {MKN} + \widehat {MKN} = {180^0}.\)\( \Rightarrow 2\widehat {MKN} = {180^0} \Rightarrow \widehat {MKN} = {90^0} \Rightarrow MK \bot NP\) Ta có: \(EF \bot MK;NP \bot MK.\)   Vậy EF // NP.

Loigiaihya.com