Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ \(AH \bot BC(H \in BC)\) . Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm M sao cho HM = HA. a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH = \Delta MBH\) b) Gọi I là trung điểm của BC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường kẻ này cắt tia AI tại D. Chứng minh rằng AB = DC. c) Chứng minh rằng \(\widehat {ACB} = \widehat {AMB}\) d) Chứng minh rằng BC // DM.

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác AHB và MHB có:HA = HM (giả thiết)\(\widehat {AHB} = \widehat {MHB}( = {90^0})\)BH là cạnh chung.Dó đó: \(\Delta AHB = \Delta MHB(c.g.c).\)b) Ta có: \(BA \bot AC\)(tam giác ABC vuông tại A) và \(DC \bot AC(gt)\)\( \Rightarrow AB//CD \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {DCI}\)Xét tam giác ABI và DCI có:\(\widehat {ABI} = \widehat {DCI}(cmt)\)BI = CI (I là trung điểm của BC)Và \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\)(hai góc đối đỉnh)Do đó: \(\Delta ABI = \Delta DCI(g.c.g)\)Suy ra : AB = CD.c) Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {HAC} = {90^0}(\Delta AHC\)vuông tại H)\(\eqalign{  & \widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^0}(\widehat {BAC} = {90^0})  \cr  & \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BAH} \cr} \)Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BMH}(\Delta ABH = \Delta MBH)\)   nên \(\widehat {ACB} = \widehat {AMB}\)d) Cách 1:Gọi O là giao điểm của BD và CM.Xét tam giác MBC và DCB có:BM = CD (=AB)\(\widehat {MBC} = \widehat {DCB}( = \widehat {ABH})\)BC là cạnh chung.Do đó: \(\Delta MBC = \Delta DCB(c.g.c) \) \(\Rightarrow \widehat {BCM} = \widehat {CBD} \)\(\Rightarrow \widehat {BCM} = ({180^0} - \widehat {BOC}):2(1)\)Xét tam giác BDM và CMD có:\(BD = CM(\Delta MBC = \Delta DCB)\)BM = CDMD là cạnh chung.Do đó: \(\Delta BDM = \Delta CMD(c.c.c) \)\(\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {CMD} \)\(\Rightarrow \widehat {CMD} = ({180^0} - \widehat {MOD}):2(2)\)Mà \(\widehat {BOC} = \widehat {MOD}(3)\) (đối đỉnh)Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat {BCM} = \widehat {CMD}\)Mà góc BCM và CMD co le trong do đó: BC // DM.Cách 2:Gọi N là trung điểm của MDXét hai tam giác HAI và HMI có:HA = HM (gt)\(\widehat {AHI} = \widehat {MHI}( = {90^0})\)IH là cạnh chung.Do đó: \(\Delta HAI = \Delta HMI(c.g.c) \Rightarrow IA = IM,\widehat {HAI} = \widehat {HMI}.\)Mà IA = ID \((\Delta ABI = \Delta DCI) \Rightarrow IM = ID\) Xét tam giác IMN và IDN có:IM = IDIN là cạnh chungMN = DN (N là trung điểm của MD)Do đó: \(\Delta IMN = \Delta IDN(c.c.c) \)\(\Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {IDN}.\)Ta có:\(\widehat {HAI} + \widehat {IDN} = \widehat {HMI} + \widehat {IMN} \)\(\Rightarrow \widehat {MAD} + \widehat {ADM} = \widehat {AMD}\)Tam giác AMD có: \(\widehat {MAD} + \widehat {ADM} + \widehat {AMD} = {180^0}.\)Do đó: \(\widehat {AMD} + \widehat {AMD} = {180^0} \)\(\Rightarrow 2\widehat {AMD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMD} = {90^0} \Rightarrow AM \bot DM\)Ta có: \(AM \bot BC;AM \bot DM.\)   Vậy BC // DM.

ufa999.cc