Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC \(\left( {E \in BC} \right)\) . Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh rằng: a) BD là trung trực của AE. b) AD < DC c) Ba điểm E, D, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆ABD (\(\widehat {BAD} = 90^\circ\)) và ∆BDE (\)\widehat {BED} = 90^\circ\))Ta có: BD (cạnh chung)\(\widehat {ABD} = \widehat {DBE}\) (BD là tia phân giác của\(\widehat {ABC}\))Do đó: ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền – góc nhọn)=> BA = BE và DA = DE=> BD là đường trung trực của AE.b) Ta có: DE < DC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)AD = DE (∆ABD = ∆EBD)=> AD < DC.c) Ta có BE = BA, AF = CE (gt) => BE + CE = BA + AF => BC = BFXét ∆BEF và ∆BAC có: BE = BA\(\widehat {EBF}\) (chung)BF = BCDo đó ∆BEF = ∆BAC (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {BEF} = \widehat {BAC} = 90^\circ\)Ta có \({\rm{EF}} \bot BC\) và\(DE \bot BC\) (gt) => EF, DE trùng nhau. Vậy E, D, F thẳng hàng.

ufa999.cc