Đề bài

Cho tam giác DEF cân tại D, kẻ trung tuyến EM. Trên tia đối của tia ME lấy điểm N sao cho MN = ME. a) Chứng minh DE = FN và tam giác DFN cân. b) Trên tia đối của FD, lấy điểm A sao cho FA = FD. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác NEA. c) Chứng minh tam giác DNA vuông d) Kẻ đường cao EB của tam giác AEN. Chứng minh ba điểm E, F, B thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆DEM và ∆FNMTa có: DM = MF (M là trung điểm của DF)\(\widehat {DME} = \widehat {NMF}\) (đối đỉnh)EM = MN (gt)Do đó: ∆DEM = ∆FNM (c.g.c) => DE = FNMà DE = DF (∆DEF cân tại D). Nên FN=DFDo đó ∆DNF cân tại F.b) Ta có \(MF = {1 \over 2}FD\) (M là trung điểm của DF) và FD = FA (gt)\( \Rightarrow MF = {1 \over 2}FA \Rightarrow {{MF} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM - FA} \over {FA}} = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} - 1 = {1 \over 2} \Rightarrow {{AM} \over {FA}} = {3 \over 2} \Rightarrow AF = {2 \over 3}AM\)∆EAN có AM là đường trung tuyến (EM = MN, \(M \in EN\))F thuộc đoạn thẳng AM và \(AF = {2 \over 3}AM\)Do đó F là trọng tâm của tam giác NEA.c) Ta có FN = FA (= DF) => ∆FAN cân tại F \( \Rightarrow \widehat {FNA} = \widehat {FAN}\)Mà \(\widehat {FND} = \widehat {FDN}\) (∆DNF cân tại F). Do đó \(\widehat {DNA} = \widehat {FND} + \widehat {FNA} = \widehat {FAN} + \widehat {FDN}\)∆DNA có \(\widehat {DNA} + \widehat {FAN} + \widehat {FDN} = 180^\circ\)Do đó \(\widehat {DNA} + \widehat {DNA} = 180^\circ  \Rightarrow 2\widehat {DNA} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {DNA} = 90^\circ\) Vậy tam giác DNA vuông tại N.d) Xét ∆DMN và ∆EMF ta có: DM = MF              \(\widehat {NMD} = \widehat {EMF}\) (đối đỉnh)               MN = EM (gt)Do đó: ∆DMN = ∆FME (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {DNM} = \widehat {MEF}\)Mà \(\widehat {DNM}\) và \(\widehat {MEF}\) ở vị trí so le trong. Nên DN // EFMặt khác \(DN \bot NA\) (∆DNA vuông tại N). Do đó \(EF \bot NA\)Ta có: \(EF \bot NA\) và \(EB \bot NA\) (EB là đường cao của ∆AEN)Do đó EF trùng với EB. Vậy E, F, B thẳng hàng.

ufa999.cc