Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = a,BD = 3a\). \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Biết \(AC\) vuông góc với \(BD\), tính \(MN\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(P\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow NP\) là đường trung bình của \(\Delta BCD \Rightarrow NP//BD,NP = \frac{1}{2}BD = \frac{{3a}}{2}\)Vì \(P\) là trung điểm của \(CD\)\( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của \(\Delta ACD \Rightarrow MP//AC,NP = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\)Vì \(NP//BD,MP//AC\) suy ra \(\left( {AC,BD} \right) = \left( {MP,NP} \right) = \widehat {MPN}\)Mà \(AC \bot BD \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^o}\)\( \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(P\)\( \Rightarrow M{N^2} = M{P^2} + N{P^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{10{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)