Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính \(\cos \left( {AB,DM} \right)\)

Lời giải chi tiết

Giả sử tứ diện đều có cạnh bằng \(a\)Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác\( \Rightarrow MN//AB;MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)Vì \(MN//AB\)\( \Rightarrow \left( {AB,MD} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}\) (vì góc \(\widehat {NMD}\) là góc nhọn)Vì tam giác \(BCD\) đều nên \(MD \bot BC\)\( \Rightarrow MD = \sqrt {B{D^2} - B{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)Tương tự, \(ND = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)Xét \(\Delta MND\) có \(\cos M = \frac{{M{N^2} + M{D^2} - N{D^2}}}{{2MN.MD}}\)\( = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)\( \Rightarrow \widehat M \approx {73^o}\). Vậy \(\left( {AB,MD} \right) \approx {73^o}\)