Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA. a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI). b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: \(\frac{{GM}}{{GA}} = \frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\). c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{{GQ}}{{GD}} = \frac{1}{3}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD. Nên M nằm trên trung tuyến BI (1) Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD. Nên N nằm trên trung tuyến AI (2) Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI). b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG. Ta có: HK // AB, AB // MN. Suy ra MN // HK. Theo định lý Thales, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}\) (1) Ta có: \(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\). Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh tương tự ta được \(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\). c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, BD. Tam giác AED có: \(\frac{{EM}}{{ED}} = \frac{{EQ}}{{EA}} = \frac{1}{3}\). Suy ra: QM // AD. Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA. Nên D, G, Q thẳng hàng. Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{EM}}{{ED}} = \frac{{EQ}}{{EA}} = \frac{1}{3}\). Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\). Do đó: \(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh tương tự ta được \(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\). Suy ra điều cần chứng minh.