Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(2a\) và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 \). Khoảng cách từ tâm \(O\) của đáy \(ABC\) đến một mặt bên là A. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{7}\).                           B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{7}\).        C. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\). D. \(\frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), kẻ \(OH \bot SI\left( {H \in SI} \right)\).\(ABC\) là tam giác đều \( \Rightarrow AI \bot BC\)\(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot BC\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot OH\)Mà \(OH \bot SI\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH\)\(ABC\) là tam giác đều \( \Rightarrow AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3  \Rightarrow OI = \frac{1}{3}AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\(SO = a\sqrt 2  \Rightarrow OH = \frac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{a\sqrt {14} }}{7}\)Chọn A.