Đề bài

Cho tứ diện OABC có \(OA = OB = OC = a,\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {60^0}\) và \(\widehat {BOC} = {90^0}\). a) Chứng minh rằng \((OBC) \bot (ABC)\). b) Tính theo a khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) và thể tích khối tứ diện OABC.

Lời giải chi tiết

a) Gọi M là trung điểm của BC Mà tam giác OCB cân tại O (do OB = OC) Do đó \(OM \bot BC\) Ta có tam giác OAC đều, tam giác OAB đều (do \(OA = OB = OC = a,\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {60^0}\)) Do đó AC = AB = a. Xét tam giác BOC vuông tại O (\(\widehat {BOC} = {90^0}\)) có \(\begin{array}{l}BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = a\sqrt 2 \\OM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\) Xét tam giác ABC có \(\begin{array}{l}A{C^2} + A{B^2} = 2{a^2},B{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\end{array}\) Do đó tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Xét tam giác OMA có \(\begin{array}{l}O{M^2} + A{M^2} = 2.{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {a^2},O{A^2} = {a^2}\\ \Rightarrow O{M^2} + A{M^2} = O{A^2}\end{array}\) Do đó tam giác OMA vuông tại M \( \Rightarrow OM \bot AM\) Mà \(OM \bot BC\) \( \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right);OM \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow \left( {OBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) b) Vì \(OM \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\) Suy ra \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}.OM.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \({V_{O.ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)