Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 2 \). Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F. a) Chứng minh rằng \(AE \bot (SBC)\). b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(BD \bot AC,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right);SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\) Trong (ABCD) qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại K, H \( \Rightarrow HK \bot SC \Rightarrow H,K \in \left( P \right)\) Trong (SAC) qua A kẻ đường thẳng vuông góc với SC Mà \((P)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng SC cắt các cạnh SC tại M nên \(AM \bot SC\) Do đó mặt phẳng (P) là (MHK) mà \((P)\) cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại E, F nên: trong (SBC) có SB cắt MK tại E, trong (SCD) có SD cắt MH tại F Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right);AE \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE\) Mà \(AE \bot SC\left( {SC \bot \left( P \right)} \right) \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)\) b) Ta có \(CD \bot AD,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right);AF \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AF\) Mà \(AF \bot SC\left( {SC \bot \left( P \right)} \right) \Rightarrow AF \bot \left( {SBC} \right)\) Xét tam giác SAB vuông tại A có +) \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \) +) \(S{A^2} = SE.SB \Rightarrow SE = \frac{{S{A^2}}}{{SB}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) Xét tam giác SBC vuông tại B có \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}}  = 2a\) Xét tam giác SAD vuông tại A có +) \(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \) +) \(S{A^2} = SF.SD \Rightarrow SF = \frac{{S{A^2}}}{{SD}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) Xét tam giác SAC vuông tại A có \(S{A^2} = SM.SC \Rightarrow SM = \frac{{S{A^2}}}{{SC}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2a}} = a\) Ta có \(\frac{{{V_{S.AEM}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AEM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}}\) \(\frac{{{V_{S.AFM}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SF}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{{a\sqrt 3 }}.\frac{a}{{2a}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AFM}} = \frac{1}{3}{V_{S.ADC}}\) Thể tích khối chóp S.ABCD là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) Thể tích hình chóp S.AEMF là \({V_{S.AEMF}} = {V_{S.AEM}} + {V_{S.AFM}} = \frac{1}{3}\left( {{V_{S.ABC}} + {V_{S.ADC}}} \right) = \frac{1}{3}.{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\)