Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) \(y = \sin 3x\);                                           b) \(y = {\cos ^3}2x\); c) \(y = {\tan ^2}x\);                                       d) \(y = \cot \left( {4 - {x^2}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(u = 3{\rm{x}}\) thì \(y = \sin u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3\) và \(y{'_u} = {\left( {\sin u} \right)^\prime } = \cos u\). Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \cos u.3 = 3\cos 3{\rm{x}}\). Vậy \(y' = 3\cos 3{\rm{x}}\). b) Đặt \(u = \cos 2{\rm{x}}\) thì \(y = {u^3}\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)^\prime } =  - 2\sin 2{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {{u^3}} \right)^\prime } = 3{u^2}\). Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 3{u^2}.\left( { - 2\sin 2{\rm{x}}} \right) = 3{\left( {\cos 2{\rm{x}}} \right)^2}.\left( { - 2\sin 2{\rm{x}}} \right) =  - 6\sin 2{\rm{x}}{\cos ^2}2{\rm{x}}\). Vậy \(y' =  - 6\sin 2{\rm{x}}{\cos ^2}2{\rm{x}}\). c) Đặt \(u = \tan {\rm{x}}\) thì \(y = {u^2}\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {\tan {\rm{x}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\). Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 2u.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 2\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\). Vậy \(y' = 2\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\). d) Đặt \(u = 4 - {x^2}\) thì \(y = \cot u\). Ta có: \(u{'_x} = {\left( {4 - {x^2}} \right)^\prime } =  - 2{\rm{x}}\) và \(y{'_u} = {\left( {\cot u} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}}\). Suy ra \(y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}u}}.\left( { - 2{\rm{x}}} \right) = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}}\). Vậy \(y' = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}\left( {4 - {x^2}} \right)}}\).