1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)

Ví dụ: 🅷Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 3.

Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:\(S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  + S = \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)\(\int\limits_{ - 2}^2 {({x^2} - 4)dx}  + \int\limits_2^3 {({x^2} - 4)dx}  = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 2}\end{array} + } \right.\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = 13\) (đvdt).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \)

Ví dụ: 🍎Tính diện tích hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} - 2\), \(y = x\) và các đường thẳng x = -1, x= 2.

Giải:

Ta có \(x \ge {x^2} - 2\) với \(x \in [ - 1;2]\).Diện tích hình phẳng đã cho là:\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - 2 - x} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + x} \right)dx}  = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{9}{2}\) (đvdt).

Chú ý:

Nếu hàm số f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì:\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}  = \left| {\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} } \right|\).

2. Tính thể tích vật thể

Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)

Ví dụ:𓆉 Hãy sử dụng tích phân tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S (không đổi) và chiều cao h.

Giải:

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox tại x= 0, x = h.

Khi cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\), thì phần chung giữa mặt phẳng và khối lăng trụ là một hình phẳng có diện tích\(S(x) = S\) không đổi.Thể tích khối lăng trụ là:

\(V = \int\limits_0^h {S(x)dx}  = \int\limits_0^h {Sdx}  = (Sx)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = Sh\) (đvdt).

Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)

Ví dụ 1:𓆏 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng quay quanh trục hoành \(y = {x^2} - 2x\), y = 0, x = 2.

Giải:

Thể tích khối tròn xoay là:\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{({x^2} - 2x)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^2 {({x^4} - 4{x^3} + 4{x^2})dx} \)\( = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{4}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right. = \frac{{16\pi }}{{15}}\) (đvdt).

Ví dụ 2: 𒁃Hình vẽ mô phòng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x  + \frac{3}{2}\) với \(0 \le x \le 4\) quanh trục hoành. Tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimét.

Giải:

Thể tích phần trong của chậu cây là:\(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x  + \frac{3}{2}} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {x + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{4}} \right)}^2}dx}  = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{4}x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right. = 33\pi \) (\(d{m^3}\)).